让我们一起领略反比例函数的神奇 一、个人对反比例函数的几点困惑与感悟 1.为何正比例函数的比例系数是比，而反比例函数的比例系数却不是比？ 2.为何我市中考的反比例函数问题总不像其它函数那么深入？只探究一些皮毛问题！至 多探究一下的几何意义（面积），例如2016年台州市中考考查的也是“函数的研究 通法”，并非专门深入研究反比例函数. 3.过去我们遇到稍难一点的反比例函数问题，就只有“暴力设元”这一途径，总无法避开 多元方程、分式方程、高次方程. 4.个人认为作为老师，不应该只应付中考，而应该研究更纯粹的数学，站在更高的位置来 了解数学本质！做到居高临下、解有依据！ 5.实际上，反比例函数中也存在很多的“比”，斜比、直比（纵比、横比、纵横比）、面积 比，可以说“比比皆是”！现在就让我们一起来比出精彩、比出神奇. 二、一道曾经困惑我多时的中考题 某年宁波市中考的填空压轴题: 如图，的顶点(，)，双曲线经过 点、，当以、、为顶点的三角形与的相似时，则 . 1.常规性解法：
通过设元，例如设(，)，则(，)，再根据条件列方程：
(1)利用、、或列方程；
(2)利用列方程；
(3)利用“一线三等角”模型、和列方程. 实际上，在上述常规处理方法中，已经透着一点智慧、一点灵性了，具体操作方法中也具 备了一定的技巧性. 但我本人对此，却一直难言满意，耿耿于怀！ 2.挖掘隐含性质，巧解此题 (1)实际上，此图中含有一些很重要的性质：
过点作轴于，连接，直线分别交 坐标轴于点、. 则有①∥；
②，；
③，. 基于以上这些性质，有如下解法. (2)我的第一种解法（整体思想）：
由，可得，， 即，于是，，…… (3)我一个同事的解法（斜边转直比）：
由，可得，， 转为横比，，因此，…… (4)我一个学生的解法（斜等转直等）：
由得，则，…… (5)我的第二种解法（平行导角度）：
由∥得，，于是，…… (6)下面我们要着重解决两件事：
①上述性质是否永远成立？如何证明？ ②解题技巧除上述方法：整体思想、斜边转直比、斜等转直等、平行导角度外，还有斜长转直长、面积比与边比互转、纯面积转化等等，后面将一、一介绍. 三、探究性质 1.如图，双曲线与矩形边交于点、，直线交坐标轴于点、. ①如图1，若，则 ；
②如图2，若，则 ；
③如图3，若，则 ， 直线与的位置关系是 ，与的大小关系 . 图1 图2 图3 2.①如图1，双曲线与直线交于点、，轴于点，轴于 点，请探究直线与的位置关系，线段与的大小关系. ②如图2，双曲线与直线交于点、，轴于，轴于， 轴于，轴于，请探究直线与、的位置关系，以及 线段与的大小关系. 图1 图2 四、最常见思想方法（斜转直）：斜边转直比、斜等转直等、斜长转直长 1.如图，直线反比例函数()图象交直线 于点、，且， 则的值为 . (1)常规方法（斜长转直长）：
，则， 可设(，)，则(，)，列方程解决；
(2)口算巧解（斜边转直比）：
由，得，，转为横比得， ，则，，…… 2.同类变式题：
如图，直线交坐标轴于点、， 双曲线交直线于点、. 若，则的值为 ；
3.难题展示（中国数学教育名师讲堂481230254，每日一题第8题，2017/3/29） 如图，点(，)，，在双曲线上，，分别交，轴于，， 分别交，轴于，. (1)求的面积；
(2)求证：. 4.原创清新小题和近年的中考题：
(1)如图1，，的面积为，则的值为 . (2)如图2，点，在双曲线上运动，轴，. ①在运动过程中，的面积是不是定值？答：
；
②若，且是正三角形，则点的坐标为 . (3)如图3，□中，，，双曲线经过点和中点，则该双 曲线的解析式为 . (4)如图4，直线与分别与双曲线交于点、，， 则的值为 . 图1 图2 图3 图4 (5)(十堰)如图5，正的边长为，双曲线经过点、，且， 则的值为 . (6)如图6，双曲线与直线交于点、. ①(原创、铺垫②)若、，且，则 ；
②(常州模拟·改编)若，且，则 ；
③(杭州模拟·改编)若，且，则 . (7)(据上题改编)如图7，为双曲线上的动点，过点作矩形，直线 的解析式为，交矩形边于，，则 . 图5 图6 图7 五、面积比、边比互转 1.①(原创、铺垫)如图1①，直线与双曲线交于点，为双曲线上一点， 射线交轴于点，若的面积为，则点坐标为 ；
②(成都)如图1②，直线与双曲线交于点、，为双曲线上一点， 射线交轴于点，若的面积为，则点坐标为 . 2.(无锡)如图2，轴，∥轴，双曲线过点、，且， 已知的面积为，则的值为 . 图1① 图1② 图3 3.(宁波)如图3，正的顶点在双曲线上，双曲线与边交于点， 连接，则的面积为 . 4.(丽水)如图4，双曲线与直线交于点、，轴，设点的 横坐标为. ①用含的式子表示 ；
②若与四边形的面积和为，则 . 5.如图5，双曲线与直线交于点、. ①(常州模拟)若，且，则 ；
②(改编自①)若、，且，则 . 图3 图4 图5 6.如图6，轴，为中点，延长到，延长到，若双曲线恰 好经过点，，且，则 . 7.如图7，双曲线过点，，过点，，若，均与轴平行， ，，且它们之间的距离长为，则 . 8.如图8，直线交双曲线于点，，若，则 . 图6 图7 图8 9.如图，点在双曲线上，轴，，延长线交轴于，若 的面积为，则的值为 . 10.如图，点、在双曲线上，轴，轴，垂足、分别在轴的 正半轴和负半轴上，，，是的中点，若面积是 的倍，则的值为 . 六、反比例函数图象中的“一线三等角”构造，初探黄金比例 1.如图1，中，，，双曲线经过点、，且点的 纵坐标为，则的值为 . (1)剖析：对于坐标系中的一个直角，若两条边均“倾斜”，我们经常构造“”形全 等或相似，即“一线三等角”模型，或叫“矩形大法”，见图2，得. (2)后感：我们可以发现，矩形恰好是一个“黄金矩形”，这到底是一种偶然的巧 合，还是一种必然的存在呢？这有待于我们进一步探究… (3)探究(2016临沭模拟)：如图3，双曲线与矩形的边交于点，，若 设点的坐标为(，)，且有，，则 . 图1 图2 图3 2.类似题：
①(2015临海模拟·填空压轴题) 如图， ，，双曲线经过 点，双曲线经过点，已知点的纵坐标 为，则 ，点的坐标为 . ②(个人原创)如图2，中，，， 双曲线经过点，双曲线经过点，且 点的纵坐标为，则的值为 . 3.难题展示（常州·于新华老师原创题） (1)如图1，点(，)，均在双曲线上，过点作轴垂线，过点作轴 垂线，两垂线交于点，垂足分别为，，将沿翻折，点恰好落在 轴上的点处. 求点的坐标. (2)如图2，点(，)，均在双曲线上，过点作轴垂线，过点作轴 垂线，两垂线交于点，垂足分别为，，将沿翻折，点恰好落在 轴上的点处. 求点的坐标. 图1 图2 4.如图，矩形的边的解析式为，顶点，在双曲线上. ①若，则点的坐标为 ；
②连接，，若是等边三角形， 则 . 后感：若能发现，本题将更简单！ 拓展：如图，正方形的顶点、在双曲 线上，、在双曲线上， 则正方形的面积为 . 5.(2013湖州模拟) 如图1，矩形的顶点、在 双曲线上，若点(，)，则点的坐标为 . 6.如图2，矩形中，，点(，)，点，在双曲线上，若为 中点，则的值为 . 图1 图2 7.①如图1，点，在双曲线上运动，以为底边作等腰直角，则点 也在一条双曲线上运动，则该双曲线的解析式为 ；
②如图2，点，在双曲线上运动，以为底边作等腰，则点也 在一条双曲线上运动，若，则该双曲线解析式为 ；
③如图3，点，在双曲线上运动，以为底作等腰，点在另一 双曲线上运动，若，请用，表示 . 图1 图2 图3 七、平行导角度，角度导比例 1.如图，点，在双曲线上，经过原点，过点作∥轴，连接 并延长，交双曲线于点. ①求证：；
②求的值. 根据本题的发现，改编了一个清新小题：
如图，点，在双曲线上，经过原点，过点的直线交该 双曲线于点，分别交轴，轴于点，，若，. 求的值. 2.如图，直线交在双曲线于点、，经过原点，过作 交轴于点，连接并延长，交双曲线于点. 求的值. 3.如图，双曲线与过原点的直线交于点、，点在双曲线上，直线、 分别交轴于点、. 若设，，则 . 4.如图，，双曲线经过点、、，求证：. 八、纯面积推导 1. 如图，点(，)，，在双曲线上，，分别交，轴于，， 分别交，轴于，. 求证：. (此方法感谢江苏·于新华老师的指导！) 2.(2016菏泽)如图，，均是等腰直角三角形，双曲线经过点，交线 段与点，求与的面积之差. 后感：①题中条件“，均是等腰直角三角形”可如何改变？ ②写出，，的关系：
. 3.(十堰)如图5，正的边长为，双曲线经过点、，且， 则的值为 . 4.(常州)如图1，，双曲线经过点、，且，求的值；
5.如图2，，双曲线经过点、、，求证：. 图1 图2