第1章 随机事件及其概率 在自然界和人类的社会活动中会发生各种各样的现象，这些现象大致可分为两类，分别称其为确定性现象和随机现象． 所谓确定性现象，即在一定条件下必然会出现某一结果(或必然发生某一事件)的现象．例如：
1．向上抛一粒石子必然下落；
2．纯净水在标准大气压下，加热至100℃时会沸腾，冷却至0℃时会结冰；
3．异性电荷必然相吸；
4．两个相邻的自然数相乘得到的数一定是偶数；
5．质量为的物体受到外力 的作用必然产生加速度；
6．一袋中装有十个大小和外形完全相同的白球，搅匀后从中任取的一球必是白球． 所谓随机现象，即在一定条件下可能出现这样的结果，也可能出现那样的结果，而且不能预先断言出现哪种结果的现象．随机现象在实际生活中是大量存在的，例如：
1．往地面上抛掷一枚硬币，观察其结果，可能是正面朝上，也可能是反面朝上，并且每次在抛掷之前无法确定哪一面朝上；
2．100件产品中有3件次品，从中任意取出4件，取到次品的件数可能是0，1，2或3；
3．一袋中装有大小和外形完全相同的三个球：红球、白球和黑球，搅匀后从中任取一球，取到的可能是红球、白球或黑球． 我们不妨想象一下，能够使得整个人类，包括一个国家、一个区域、一个家庭乃至每个人感到振奋、幸福、惬意、快乐、悲伤、恐惧、失望及愤怒的那些主宰人们几乎所有激烈情绪的事件，无一不是随机现象：战争给人类带来的难以预料的结果；
自然灾害给一 个国家和个人带来的损失与苦难；
子女的考学给家庭带来的不安与期望．凡此种种，不一而足． 可以毫不夸张地讲，整个世界都是在与“随机现象”的“博弈”中生存的． 观察一定条件下发生的结果或事件通常称为试验．仅就一次试验而言，随机现象的结果具有不确定性，但是在相同条件下做大量的重复试验时，随机现象的结果又会呈现出一种明显的规律性．例如，往地面上抛掷一枚硬币的次数足够多时，正面朝上和反面朝上的次数大致相同，都占总抛掷次数的一半左右．英国数学家皮尔逊(Pearson)曾经做过24000次抛掷硬币的重复试验，结果正面朝上为12012次，反面朝上为11988次，都接近12000次，这就是随机现象的统计规律性．可见，随即现象具有表面的偶然性和蕴涵的必然性，偶然性就是它的随机性，必然性就是大量的重复实验中呈现出的统计规律性．概率论与数理统计就是从数量的角度研究随机现象规律性的一门学科． 作为概率论的入门，本章将主要介绍概率论中两个最基本的概念：随机事件与随机事件的概率；
并在此基础上介绍条件概率及三个重要公式（乘法公式, 全概率公式, 贝叶斯公式），事件的独立性及伯努利（Bernoulli）概型． §1.1 随机事件及其运算 一、随机事件与样本空间 研究随机现象，就需要对“具备一定条件时，现象是否发生”进行观察，这种观察的过程称为随机试验，简称试验．如：
试验1．向一个桌面上掷一颗骰子，观察出现的点数；
试验2．一袋中装有四白三黑三红大小形状完全相同的球，搅匀后从中任取一球，观察球的颜色；
试验3．抽查流水生产线的一件产品，观察是正品还是次品． 随机试验具有以下三个共同特点：
1．可重复性，即试验可以在相同条件下重复进行；
2．多结果性，即试验的所有可能结果不止一个，但是预先知道所有可能的结果；
3．随机性，即每一次试验一定会出现可能结果中的一个，且只出现一个结果；
但在试验之前，不能明确预言会出现哪个结果． 定义1 称随机试验的所有可能结果组成的集合为该随机试验的样本空间，用表示；
试验的每一个结果（即的元素）称为该试验的一个样本点，用表示． 定义2 称随机试验的样本空间的子集为该试验的随机事件．特别地，由一个样本点组成的单点集，称为基本事件． 在每次试验中一定发生的事件称为必然事件，通常用全集表示．在每次试验中一定不发生的事件称为不可能事件，通常用空集表示． 例如，向一个桌面上掷一颗骰子，结果可能是 “出现1点”、“出现2点”、…、“出现6点”等等．每一个结果都是一个随机事件．另外，“出现的点数不超过5”、“出现的点数在超过3”、“出现的点数为偶数”等也都是随机事件．而“出现的点数不超过6”是必然事件，“出现7点”则是不可能事件． 在上述随机事件中，“出现1点”、“出现2点”、…、“出现6点”等事件为基本事件；
我们把“出现的点数不超过5”、“出现的点数在超过3”、“出现的点数为偶数”等事件称为复合事件，每一个复合事件都是由一些基本事件组成的，如“出现的点数为偶数”，就是由“出现2点”、“出现4点”和“出现6点”三个基本事件所组成．可以说，基本事件就是不可分解的事件，而复合事件就是可分解的事件． 显然，任何一个随机试验的结果一定是某一个基本事件．因此，样本空间所代表的事件是必然事件． 在概率论中主要讨论随机事件，即在试验条件下可能发生也可能不发生的事件．随机事件是样本空间的一个非空子集，一般用大写英文字母等表示．然而偶然和必然的辩证统一性，又让我们不能不涉及必然事件和不可能事件．因此，为讨论问题的方便，我们将必然事件和不可能事件也看作随机事件 ，这与集合论中将全集和空集也看作子集的给定相一致． 对一个随机试验，首先要弄清楚它所有的基本事件，进而确定样本空间和随机事件．下面举几个例子． 例1． 在一个口袋中放有红、黄、绿三个大小形状完全相同的球，从中任取一个并观察它们的颜色．在这个试验中，样本空间由下面三个基本事件组成：
={红球}，={黄球}，={绿球}． 例2． 试写出下列随机试验的样本空间与指定的随机事件：
（1）从一批产品中任意抽取5件，观察这5件产品中的次品数． 事件“5件产品中的次品数不超过2件”． （2）设某零件直径的最大可能误差是±0.1mm． 事件“误差的绝对值不超过0.05mm”． （3）盒中装有颜色各为红、黄、白、黑的四个大小形状完全相同的球，搅匀后从中任取两个球，观察球的颜色． 事件“有白球”． （4）盒中装有红、黄、蓝三种颜色的粉笔，各色粉笔均超过4只．从盒中任意取出4只粉笔，观察它们有几种颜色． 事件“有红色”，事件“有白色”． （5）观察某地区120急救电话台在某一段时间内接到的呼唤次数． 解 （1）设表示所抽5件产品中的次品数为，则该试验的基本事件为，．于是样本空间 而 ． （2） 该试验的基本事件为区间（单位：mm）中的任一实数，因此样本空间，而 ． （3）该试验的样本空间为{红黄，红白，红黑，黄白，黄黑，白黑}，而 {红白，黄白，白黑}． （4）该试验的样本空间为{红，黄，蓝，红黄，红蓝，黄蓝，红黄蓝}，而 {红，红黄，红蓝，红黄蓝}，． （5）该试验的基本事件为{呼叫次数为次}，样本空间为． 例2说明随机试验的样本空间既有离散的，如（1），（3），（4），（5）；
又有连续的，如（2）；
既有有限集，如（1），（3），（4）；
又有无限集 ，如（2），（5）． 二、随机事件间的关系与运算 在研究一个随机现象时，通常会涉及多个随机事件，而且这些随机事件是有关系的．了解事件之间的关系，有助于了解和掌握每个事件的本质，从而使我们通过对简单事件的了解，来研究与之有关的较为复杂的事件． 如前所述，一个随机试验的随机事件是样本空间的某个子集．因此，随机事件之间的关系与运算在本质上与集合之间的关系与运算一致，我们将以集合论的观点和表示方法给出随机事件之间的关系和运算． 以下设已给定某随机试验的样本空间（全集），等均表示该试验的随机事件（的子集）． （一）事件的包含与相等关系 定义3 如果事件发生时，事件必发生，则称事件包含事件（或事件含于事件），记作（或）．如果与同时成立，则称与相等，记作． 例3． 五件同类产品中有两件次品，从中任取三件，设“恰取到一件次品”，“至少取到一件次品”，“最多取到两件正品”，则． （二）事件的和（并）运算 定义4 事件与事件至少有一个发生，是一个事件，称为事件与事件的和（并），记作，即 “与至少发生其一”． 例4． 发行甲、乙两种报纸，按户统计订报情况，设“订甲种报纸”，“订乙种报纸”，“甲、乙两种报纸中至少订阅一种报纸”，则． （三）事件的积（交）运算 定义5 事件与事件同时发生，是一个事件，称为事件与事件的积（交），记作（或），即 “与同时发生”． 如例4中 “甲、乙两种报纸中都订阅”． 事件的并与交运算，可推广到事件为有限个或可列个的情形．若发生当且仅当中至少有一个发生，则称是的和，记为或；
若发生当且仅当同时发生，则称是的积，记为或． 易见，若，则． （四）事件的差运算 定义6 事件发生而事件不发生，是一个事件，称为事件与事件的差，记作，即． 如例4 中“订甲种报纸而不订乙种报纸”． （五）对立事件（逆事件） 定义7 事件与事件有且仅有一件发生，是一个事件，称事件与事件互为对立事件（逆事件），记作（或），即“不发生”． 如例4 中“未订甲种报纸”． 事件与它的对立事件有关系：
；
；
．而． （六）事件的互不相容性（互斥性） 定义8 若事件与事件不能同时发生，即，则称事件与事件互不相容（或互斥）． 注意，互逆一定互斥，但互斥未必互逆．比如，掷一个骰子，事件“出现３点”和事件“出现偶数点”是互斥的，但这两个事件并不互逆． 若事件组（有限个或可列个）中任意两个事件互不相容（互斥），则称事件组互不相容（或两两互斥）． 易见，基本事件是互不相容的，而两个互斥事件不包含共同的基本事件． （七）完备事件组 定义9 若事件组（有限或可列个）互不相容，且，则称构成一个完备事件组． 易见，一个随机试验的所有基本事件就构成一个完备事件组；
而事件与它的对立事件也构成一个完备事件组． 完备事件组有时也称为对样本空间的一个剖分（或划分）．下面将会看到，完备事件组是事件间的一种很重要的关系．为便于对照和记忆，我们把随机事件的关系与运算列入表1.1.1中． 表1.1.1 关系或运算 符号(集合表示) 文氏图 概率论语言描述 事件包含事件 （或） 事件发生,则事件发生 事件与相等 事件与的和（并） 事件与中至少有一个发生 事件与的积（交) 事件与同时发生 事件与的差 事件发生而不发生 事件的对立事件 事件不发生 事件与互不相容 事件与不能同时发生 完备事件组 三、随机事件的运算性质 随机事件的运算性质与集合的运算性质完全相同，这里仅列出其主要性质，证明从略．有兴趣的读者可查阅有关集合论的书籍． 1．交换律 ，． 2．结合律 ， ． 3．分配律 （1）（第一分配律）． 推广至任意有限个事件，则为 ． （2）（第二分配律）． 推广至任意有限个事件，则为． 4．德摩根（De Morgan）定理（对偶律） （1）（第一对偶律）． 其推广形式为 ． （2）（第二对偶律）． 其推广形式为 ． 例5． 设是某随机试验中的三个随机事件，试用运算关系式表示下列各事件：
（1）中恰有发生；
（2）中至少有两个事件发生；
（3）中恰好有两个事件发生；
（4）中至多有一个事件发生． 解 （1）可表示为或；
（2）可表示为或；
（3）可表示为；
（4）可表示为，或，或． 例6． 从一批灯泡中任取4个检验，设表示第个灯泡的使用寿命在800h以上(含800h)．试用语言描述下列随机事件：
（1） ；
（2） ；
（3） 解 （1）表示4个灯泡中至少有一个灯泡的使用寿命在800h以上；
（2）表示第1，4两个灯泡的使用寿命在800h以上，而第2，3两个灯泡的使用寿命不足800h；
（3）表示并非4个灯泡使用寿命都在800h以上，即至少有一个灯泡的使用寿命不足800h． [注] 顺便指出，样本点未必都是事件．不过，对此进行的研究已经超出了本书的范围． [注] 有些专供数学专业学生使用的教科书中，可能会提到“样本点未必都是事件”这一论点，但这种讨论已超出本书研究的范围。
§1.2 随机事件的概率 观察一个随机试验的各种事件，总会发现不同的事件出现的可能性一般也不尽相同．然而，我们研究随机现象时，不仅需要知道可能会出现哪些事件，更重要、且更具实践意义的是需要研究、了解各种事件发生可能性的大小，并加以度量．这就需要有一个刻画事件发生可能性大小的数量指标，同时该指标还需满足以下两个条件：
1．它必须是事件本身所固有的客观量度，且可在相同条件下通过重复试验予以识别和检验． 2．它必须符合一般常理．譬如，当事件发生的可能性大时，该指标值相应也大，反之，它的值就小；
而必然事件的指标值最大，不可能事件的指标值最小等等． 这样一来，我们就能够建立起事件出现的可能性与其数量指标的对应关系．由于在通常的情形下，这二者是等价的（稍后我们会看到它们之间也有细微的差别），所以我们把刻画一个事件发生可能性大小的数量指标称为事件的概率，记为，它同时也为我们即将给出的在公理化结构下的概率定义做好了准备 ． 本书将针对不同情况介绍三种计算概率的方法，这三种方法分别称为：统计概率，古典概率和几何概率． 一、统计概率 随机事件在一次试验中，可能发生，也可能不发生，这是具有偶然性的．但是，大量的事实告诉我们，随机事件在一次试验中发生的可能性大小是随机事件本身所固有的一种属性，不同的随机事件，发生的可能性大小不一定相同，有的发生的可能性大，有的发生的可能性小．前面说过，我们需要用一个量来体现这种可能性的大小，那么，到底怎样的一个量能够体现事件发生的可能性的大小？为此，我们先给出频率的定义． 定义1 设在次重复随机试验中，事件发生了次．称为事件发生的频数，称为事件发生的频率，记为 （1.2.1） 由定义易知，频率具有如下基本性质：
1．对任意事件，；
2．；
3．若事件和事件互斥，则．进一步地，若是两两互斥的事件，则． 一个随机事件的频率与试验的次数和事件发生的次数有关，因而不是一个固定的常数．但是在大量的重复试验中，频率具有稳定性．为了说明频率的稳定性，先看下面的例子． 例1． 考虑“抛硬币”试验，除了皮尔逊，历史上还有多名数学家做过这个试验．设事件“正面朝上”，则试验的结果如表1.2.1． 表1.2.1 试验者 抛掷次数（） 发生的次数（） 频率（） 德摩根 2 048 1 061 0.5181 蒲 丰 4 040 2 048 0.5069 费 勒 10 000 4 979 0.4979 皮尔逊 12 000 6 019 0.5016 皮尔逊 24 000 12 012 0.5005 维 尼 30 000 14 994 0.4998 表1.2.1的数据表明，随着试验次数的增大，频率呈现出稳定性，即当逐渐增大时，总是在0.5附近摆动，且摆动幅度越来越小． 例2． 考察英文字母出现的频率．当观察字母的个数（试验次数）较小时，频率有较大幅度的随机波动，但是当增大时，频率呈现出稳定性．表1.2.2就是一份英文字母频率的统计表，是由Dewey．G．统计了约438 023个字母得到的． 表1.2.2 字母 频率 字母 频率 字母 频率 E 0.1268 L 0.0394 P 0.0186 T 0.0978 D 0.0389 B 0.0156 A 0.0788 U 0.0280 V 0.0102 O 0.0776 C 0.0268 K 0.0060 I 0.0707 F 0.0256 X 0.0016 N 0.0706 M 0.0244 J 0.0010 S 0.0634 W 0.0214 Q 0.0009 R 0.0594 Y 0.0202 Z 0.0006 H 0.0573 G 0.0187 大量的试验说明，尽管一个事件发生的频率不是固定的常数，但是当试验的次数逐渐增大时，事件发生的频率会逐渐在某个常数附近摆动，试验的次数越大，频率和某个常数之间的偏差就越小，呈现出一种稳定性，我们将这个常数称为频率的稳定值．因此，我们用这个频率稳定值来确切反映事件发生的可能性大小，作为其度量指标．于是引入下述定义． 定义2 在观察某一随机事件的随机试验中，随着试验次数的增大，事件发生的频率会越来越稳定地在某一常数附近摆动，这时就以常数作为事件的概率，并称其为统计概率，即． 根据这个定义，在实际问题中，我们可以把大量观察所得到的频率作为概率的近似值，很多情况下，这就足以满足实际需要了． 例3． 某市卫生管理部门对该市60岁以上老人患高血压的情况进行调查，从4个区分别调查了80人，90人，100人，100人，其中患病人数分别为23，27，33，30．试估计该市60岁以上老人高血压的患病率． 解 以4组调查结果频率的平均值来估计，结果为 二． 概率的数学定义与性质 统计概率的定义，虽然适用于一些实际问题，但我们不可能总是通过大量的重复试验，来求得事件发生的频率，进而求得事件的概率．为了使概率论建立在严格的理论基础之上，需要对概率给出一个相对严格的数学定义． 定义3 设是某随机试验的样本空间，是的样本空间，若对的每一个事件，都用一个实数与之对应，若集合函数满足下列三个性质，则称为概率． 1．非负性：对每一个事件，；
2．规范性：；
3．可列可加性：
若两两互不相容，即，，则． 由概率的定义，可以导出概率的一些重要性质． 性质1 ． 事实上，由及可列可加性，有． 故． 不过，我们以后就会看到，概率为零的事件不一定就是不可能事件． 性质2（有限可加性） 若两两互不相容，即，，则． 事实上，由及可列可加性，有． 性质3 若构成一个完备事件组，则． 事实上，由概率的规范性及性质2即得． 性质4 ． 事实上，与互不相容，且，所以，． 性质5 若，则． 事实上，，且，则概率的非负性及性质2，有 性质6 若，则．（是性质5的推论） 性质7 对任一随机事件，有．（由及性质6即得） 性质8 对任意两个随机事件，有． 事实上，，且，由性质2，得 又，且，再由性质2，得 将并代入到第一个等式即得． 性质8也称为加法定理． 例4． 甲給乙打电话，乙单位有两个电话号码与，号码能打通的概率是0.7，号码能打通的概率是0.4，至少有一个打不通的概率是0.65，求至少有一个能打通的概率． 解 记“号码能打通”，“号码能打通”，则“至少有一个打不通”可用表示，“至少有一个能打通”可用表示．由题设，，，于是 性质9 对任意两个随机事件，有．（是性质8的推论） 例5． 已知两个随机事件与满足，且，试求． 解 因为 且，所以，，即 [注] 值得注意的是，尽管我们有时可由事件的关系推出概率的关系，如性质6，但反过来却未必成立．譬如令，且，，，自然有．不过，在上述各概率值不变的情况下，是不一定成立的，事实上，由 ，可得．于是， 但这并不意味着，即． §1.3 古典概型和几何概型 一、古典概型 在实际问题中，随机试验的类型多种多样，因此，我们可以根据各种随机试验的类型和特点，给出相应的方法来研究事件的概率． 有一类随机试验，具有下述两个共同的特点：
（1） 试验的样本空间只包含有限个基本事件，记为；
（2） 试验中每个基本事件发生的可能性相同． 由于这一概型是概率论发展初期的主要研究对象，所以称其为古典概型．而古典概型中每个基本事件的发生具有等可能性，所以也称为等可能概型．古典概型的一些概念具有直观、容易理解的特点，有着广泛的应用．下面我们来考虑古典概型中事件的概率． 定义1 若古典概型的样本空间所含基本事件有个，而事件所含的基本事件有个，则事件的概率定义为 （1.3.1） 由于只适用于古典概型，所以由式（1.3.1）定义的概率称为古典概率． 例1． 箱中装有10件产品，其中有1件次品，在9件合格品中有6件一等品，3件二等品，现从箱中任取3件，试求：
（1）取得的3件产品都是合格品，但仅有1件是一等品的概率；
（2）取得的3件产品中至少有2件是一等品的概率． 解 从箱中10件产品中任取3件，共有中取法，因此该随机试验的样本空间所含的基本事件总数为． （1）设该事件为，则中基本事件数为，所求概率为 （2）设该事件为，则中基本事件数为，所求概率为 例2． 设有两个不同的球随机地放入3个盒中，试求两个球在同一盒中和两个球不在同一盒中的概率． 解 两个球放入3个盒中共有种放法，即此随机试验的样本空间中的基本事件总数为9．设表示“两个球在同一盒中”，表示“两个球不在同一盒中”，则中基本事件数为，中基本事件数为．于是 例3． 在某层书架上任意摆放10册图书，其中有两套书各为4册和3册，试求下列事件的概率：
（1） “4册一套的书摆放在一起”；
（2） “两套书各摆放在一起”；
（3） “两套书按相同方向的册序各摆放在一起”． 解 10册书在书架上的摆放法共10！种，即样本空间中的基本事件总数为10！ （1）4册一套的书摆放在一起，可将其视为一本书与其余的6本书一起摆放，共有7!种摆法，而这一套4册书之间又有4!种摆放法，故中的基本事件数为7!4!，于是有 （2）将两套书看成两本书，与其余3本书一起摆放，共有5！种摆法，而这两套书又有4!3!种摆放法，故中的基本事件数为5!4!3!，于是有 （3）中的基本事件数为5!2，于是有 以上的例题都是直接利用公式来计算事件的概率．有时，直接计算概率比较麻烦，而计算相对简单，这是可先求，然后利用公式求． 例4． 从0，1，2，…，9十个数码随机可重复地取出5个数码，求“5个数码中至少有两个相同”的概率． 解 事件中包含的基本事件，情况比较复杂，它包含“5个数码完全相同”，“5个数码中有4个相同”，“5个数码中有三个相同”等等．计算它们的个数比较麻烦．我们考虑事件“5个数码全不相同”，易得．于是有 例5． 盒中有4只白球，2只红球．每次从盒中取出一只球，连续取两次．（a）第一只取出后放回，再取第二只；
（b）第一只取出后不放回，接着取第二只．试求在以上两种情况下，以下各事件的概率：
（1）取到两只白球；
（2）取到两只颜色相同的球；
（3）至少取到一只白球． 解 在（a）种情况下：（1）设“取到两只白球”，则；
（2）设“取到两只红球”，则“取到两只颜色相同的球”．于是 （3）设“至少取到一只白球”，则． 在（b）种情况下：（1）；
（2），则；
（3）． 例6． 某人有5把不同的钥匙，但忘记哪一把是开门的，于是逐把试开．求以下各事件的概率：（1）恰好第3次试开成功；
（2）3次内成功；
（3）每次试开均不记钥匙，而恰好第3次成功． 解 （1）设“恰好第3次试开成功”，则；
（2）设“3次内成功”，则；
（3）设“第3次成功”，则． 二、几何概型 古典概率只适用于古典概型，它要求样本空间中所有基本事件的个数为有限且等可能．但是，在很多实际问题中，试验对应的样本空间所含的基本事件为无限个，这时古典概率的定义就不适用了．考虑到样本空间中所有基本事件的个数为无限且等可能的情形，我们考虑把古典概率的定义作进一步的推广，于是引出了几何概率的定义． 考虑随机试验：从区间[0，1]中随机地取一数，这时的样本空间 是一无限集，不再是古典概型，古典概率失效．假定每个数被取到的可能性都一样，我们这样来理解等可能性的含义，就是取到的数在区间内某一部分区间的可能性与的长度成正比，而与的位置无关．比如，设表示“取到的数不超过”；
表示“取到的数在与之间”，那么，我们很自然地会想到：
；
将这个例子一般化，得到如下定义：
定义2 具有下述特征的随机试验称为几何概型：
(1) 随机试验可归结为在一个可度量的几何图形中随机投点（或取点），以表示的度量（如长度、面积、体积等），而事件是指所投点（取点）落在（取自）中的可度量图形中；
（2）事件的概率与的度量成正比，而与在中的位置无关． 定义3 对于几何概型中的任一事件，以 （1.3.2） 作为事件的概率，并称其为几何概率． 在现实中有很多试验，并不是向某区域内投点，但是试验的结果可以用某区域中的点表示，试验的一切结果对应区域中的一切点，而且具有等可能性，这时可以用定义3求事件的概率． 例7． 从区间（0，1）中随机取两个数，试求两数之和大于1.5的概率． y x 1 1 0.5 0.5 图1.3.1 x+y=1.5 解 从（0，1）中随机取两个数与，相当于从区域 （图1.3.1中正方形）中随机取点，设“两数之和大于1.5”，则事件即取自中的区域（图1.3.1中阴影部分），这是一个几何概型，于是 例8． （会面问题）甲、乙两人约定某日下午两点至两点半在某地会面，先到者等候15分钟后即离去．假设某人可在指定时间内的任一时刻到达，试求出二人能会面的概率． 30 x-y=1.5 y-x=1.5 x y 0 30 图1.3.2 解 记下午两点为会面的起始时刻，分别表示甲、乙二人到达的时刻，则两人到达时间的一切可能结果对应边长为30的正方形内所有点（如图1.3.2）．设表示“二人能会面”，则发生的充分必要条件是，即对应阴影部分内的一切点． 归结为几何概型就是：向平面区域内随机投点，事件即点投入中的区域中，于是 §1.4 条件概率与全概率分式 一、条件概率与乘法公式 （一）条件概率 在实际问题中，除了考虑求某一事件的概率，还常常需要考虑“在已知某事件发生的条件下，事件发生”的概率问题．由于增加了新的条件“事件已发生”，“事件发生”的概率一般来说不同于，我们称它为对的条件概率．记为．相应地，前面所讨论的概率就称为无条件概率．条件概率是概率论中一个重要而实用的概念，先看一个引例：
引例 假设100个产品中有一等品70个，二等品25个，废品5个，一、二等品均为合格品．从这100件产品中随机取一个，设 “产品是一等品”，“产品是合格品”， 则 “产品是合格且是一等品”，“合格产品是一等品” 于是 现在考虑“已知取出的产品是合格品，求该产品是一等品”的概率问题，这个问题相当于“在事件发生的条件下，事件发生的”概率．首先，我们用表示所求的概率，用以说明“取出的产品是合格品”这一条件限制，以区别没有这个条件限制时同一事件的概率．其次，试验条件的不同导致样本空间的不同，由于事件发生已经发生，原样本空间中不属于的基本事件不再发生，即可能出现的结果只有95个，此时的样本空间相当于“从95个合格品中任取一个”这样一个试验对应的样本空间．显然，中基本事件数与中的基本事件数相同，于是有关系式 （1.4.1） 上式又可以写成 （1.4.2） 对频率和几何概型也有与上面类似的结果．因此，我们得到下面的定义． 定义1 设为任意两个随机事件，且，称 （1.4.3） 为在已知事件发生的条件下，事件发生的条件概率．读作对的条件概率． 可以验证，条件概率具有概率定义中的三个基本性质：
1．非负性：对每一个事件，；
2．规范性：；
3．可列可加性：
若两两互不相容，即，，则． 可见条件概率也是一种概率，故概率所具有的性质，条件概率也都具有，如；
等等． 例1． 已知10张考签中有4张难签，甲、乙二人参加抽签，各任抽一张，且由甲先抽，抽出后并不放回已抽出的考签（称这种抽取方法为不放回抽样或不重复抽样）．试求在甲抽到难签的情况下，乙也抽到难签的概率． 解 设表示“甲抽到难签”，表示“乙抽到难签”，则所要求的就是条件概率．由于抽到难签后，剩下9张考签，其中有3张难签，于是由式（1.4.1）可得 例2． 资料显示，某地区人的寿命在70岁以上的概率为0.66，在80岁以上的概率为0.39，问该地区一位70岁以上的人能活到80岁以上的概率有多大？ 解 设表示“寿命在70岁以上”，表示“寿命在80岁以上”，则所要求的就是条件概率．而由题设可知，， 于是由式（1.4.3）可得 （二）乘法公式（定理） 由条件概率的定义式（1.4.3），可得 （1.4.4） 类似地，由，可得 以上二式称为概率的乘法公式．乘法公式很容易推广到任意有限个事件的情形． 设为（）个事件，满足，则有 （1.4.5） 证明 由于，所以 对上式用式（1.4.3）便得式（1.4.5）． 乘法公式是利用条件概率计算乘积事件概率的有力工具． 例3． 已知某工厂生产的产品的合格率为0.96，而合格品中的一级品率为0.75，求该厂生产的产品是一级品的概率． 解 设表示“产品是合格品”，表示“产品是一级品”，因为一级品必是合格品，所以．由题设，，于是由式可得 例4． 盒中有12个新乒乓球，每场比赛任取3个，用完后放回去，共赛3场，假设球均未损坏．试求：
（1） 三场比赛取到的都是新球的概率；
（2） 第二场比赛取到两新一旧3个球，而第三场比赛取到一新两旧3个球的概率． 解 设分别表示第一、二、三场比赛取到个新球，则有乘法公式可得 （1）所求概率为 （2）所求概率为 例5． 已知某袋中放有5个黑球和4个白球，从中随机取出一个，然后放回，并同时再加进2个与抽出的球同色的球，再取出第二个球．试求：
（1） 所取两球都是白球的概率；
（2） 第二次才取得黑球的概率． 解 设表示“第次取得白球”，则表示“第次取得黑球”，则表示“所取两个球都是白球”，表示“第二次才取得黑球”，也就是“第一次取得白球而第二次取得黑球”．由于，，，于是由式可得 （1）所求概率为 （2）所求概率为 也许有人会问，既然是第二次才取到黑球，那么第一次取到白球应该是条件，为什么不是求呢？ 事实上，条件概率要求事件是已经发生了的事件．而这里的问题中，从逻辑意义上考虑，第二次才取到黑球，第一次就必须取到白球．但是在第二次取到黑球之前，第一次不是一定能取到白球．因此，“第一次取到白球”仅是逻辑意义上的条件，不是条件概率中的条件． 例6． 在例5中如果第二次随机取出一个，然后再放回，并同时再加进2个与抽出的球同色的球，再取出第三个球，则“第三次才取到白球”的概率为 二、全概率公式与贝叶斯公式 在解决实际问题的过程中，我们有时希望利用已知的某些事件的概率来求得所研究的事件的概率，有时又希望利用比较简单的事件的概率，去求未知的比较复杂的事件的概率．本节将要介绍的全概率公式和贝叶斯公式帮助我们解决这些概率的计算问题，我们将利用条件概率、乘法公式以及概率的可加性推导出这两个十分有用的公式． （一）全概率公式 先来看一个引例 引例 有5个乒乓球，3只白色球，2只黄色球，每次取一只，无放回．求（1）第一次取到白色球的概率；
（2）第二次取到白色球的概率；
（3）在已知第一次取到白色球的条件下，第二次取到白色球的概率． 解 设“第一次取到白色球”，“第二次取到白色球”，则“第一次取到黄色球”，且 （1）；
（2）考虑到正好是第一次取球的所有可能情况，它们构成了一个完备事件组，且互不相容，所以．由概率的可加性及乘法公式可得 （1.4.6） 而由题设可知 ， ， 代入式（1.4.6）得到所求概率为 （3）． 注意（2）的求解过程是将一个复杂事件分解为互不相容的较简单的事件后，利用概率的可加性与乘法公式求解的再看一个例子：
例7． 设有三箱同类型产品各由三家工厂所生产．已知第一、第二家工厂产品的废品率都是2%，第三家工厂的废品率是4%．现在任取一箱，从箱中任取一件产品，试求所取产品是废品的概率． 解 这里的试验是先从三箱中任取一箱，再从取到的一箱中任取一件产品，考虑取到废品的情况．因此，可先设表示“取到第家工厂生产的一箱产品”，，这时，反映了先抽取的所有可能情况，并且它们构成了一个完备事件组，再设表示“取到废品”，则互不相容，于是．由概率的可加性及乘法公式可得 （1.4.6） 而由题设知 ， ，， 代入式（1.4.6）得到所求概率为 本例是将一个复杂事件分解为三个互不相容的较简单的事件后，利用概率的可加性与乘法公式求解的．求的式具有普遍意义，它的一般形式就是所谓的全概率公式． 定理1（全概率公式） 设某随机试验的样本空间中的事件（有限或可列个）是构成一个完备事件组，且，则对任一事件，有，且 （1.4.7） 并称式（1.4.7）为全概率公式，简称全概公式． 证明 由假设可知事件必与某一事件同时发生，而构成一个完备事件组，因此，由事件的运算性质可得 由于两两互不相容， 也互不相容，有概率的可加性及乘法公式可得 例8． 10张考签中有4张难签，甲、乙、丙三人依次不放回地各抽取一签．分别求甲、乙、丙三人各自抽到难签的概率． 解 设分别表示甲、乙、丙抽到难签．那么，由古典概率有 由于乙是在甲已抽取的条件下抽取，且甲抽取的情况与构成一个完备事件组，所以由全概率公式可得 而丙是在甲、乙都已抽取的条件下抽取的，且甲乙抽取的情况构成一个完备事件组，所以由全概率公式可得 此例验证了众所周知的抽签机会均等，与抽签顺序无关这一事实． 例9． 某厂的一种产品每50件成一箱，每箱中至多有2件次品，且含0，1，2件次品是等可能的．现从中任取一箱，再随机逐件抽取5件产品进行检查（取后不放回），在抽取过程中，如发现次品，则停止抽查，而认为该箱产品是不合格的；
若抽出5件后仍未发现次品，则认为该箱产品是合格的．试求可以认定该箱产品合格的概率． 解 设表示“取到含件次品的一箱产品”，，则构成一个完备事件组．再设表示“认定该箱产品合格”，则由全概率公式可得 而由题设可知 下面求．为方便，设表示“第次抽到合格品”，，显然有，而 类似地，有 于是所求概率为 由以上的例题可以看出，全概率公式适用问题的一般特征是：试验可以分为两个层次（或两个步骤），第一层次的所有可能结果构成一个完备事件组，即为互不相容的事件，且，而每次试验必发生其一；
我们所考虑的事件是第二层次中的事件，它的发生必与中的一个同时发生．因此，利用全概率公式来求事件的概率时，我们必须找出满足全概率公式的完备事件组，这是解决问题的关键． 我们再来看一个有关两层次试验的例子：
设有甲、乙两个盒子．甲盒中有3支红粉笔，2支蓝粉笔；
乙盒中有1支红粉笔，2支蓝粉笔，2支白粉笔．任取一个盒子，再由盒中任取一支粉笔，并设“取到甲盒”，“取到红粉笔”，则 也可以不用全概率公式，即可以设想将两盒粉笔都混放到一个盒子里，再任取一支，则，结果一致． 能否就此认定全概率问题均可由上述第二种方法解决呢？一般而言是不行的．为此我们将前面例子稍加改动，即甲箱有4支红粉笔，2支蓝粉笔；
乙箱有1支红粉笔，2支蓝粉笔，1支白粉笔，试验过程不变．则 而两盒粉笔混合后，，两个结果并不一致．这说明用后一种方法代替全概率公式通常是不成立的，而只有当两盒粉笔数相等时结果才变为正确．读者能否将上述结论推广到更一般的情形？ （二）贝叶斯（Bayes）公式 看下面的引例 引例 某工厂有四条流水线生产同一种产品，该四条流水线的产量分别占总产量的10%，20%，30%，40%，又这四条流水线的次品率依次为0.05，0.04，0.03，0.02，现从出厂产品中任取一件，若发现取到的产品是次品，问它由第四条流水线生产的概率有多大？ 解 令“取出的产品为次品”；
“产品取自第条流水线”，．显然，所求概率为．今由题设可知，，，，；
，，，．因此，由全概率公式可得 利用条件概率的定义及乘法公式可得 这就是取出的次品由第四条流水线生产的概率．用类似的方法也可以求出所取次品由第一、第二、第三条流水线生产的概率． 这个例题实际上告诉我们一个极为有用的公式，即贝叶斯公式． 定理2（贝叶斯公式） 设某随机试验的样本空间中的事件（有限或可列个）是构成一个完备事件组，且，则对任一事件，且，有 ， （1.4.8） 并称式（1.4.8）为贝叶斯（Bayes）公式． 贝叶斯公式常用于解决的问题是：如果某事件能且只能与完备事件组中某一事件（）同时发生，而且我们在试验之前知道及，．在所做的一次试验中，假设事件发生了，如何求事件的发生是由事件的发生而引起的概率，．这可以视为全概率公式的逆问题，因此，贝叶斯公式也常称为逆概公式．利用逆概公式解决问题时，关键仍是找出满足全概率公式的完备事件组．我们把称为先验概率，而把要求的条件概率称为后验概率． 在上面的引例中，“抽查一次产品”是一次试验，那么就是在试验之前就已经知道的为先验概率，实际上它是过去已经掌握的情况反映，对试验将要出现的结果提供了一定的信息；
现在试验结果出现次品（发生了），这时后验概率反映了在试验之后，对 发生的某种“来源”（即次品的来源）的可能性大小的估计． 例10． 某保险公司把客户分为三类：“谨慎的”，“一般的”和“冒失的”．统计资料表明，这三类客户在一年内发生某类事件的概率依次为0.01，0.05和0.10．设它们在客户中所占比例依次为30%，50%和20%．现已知某客户在一年内出了事故，求该客户是“谨慎的”客户的概率． 解 这里的随机试验可以视为从三类客户中任意抽查一个客户，考察其是否出事故．而所考虑的问题是：已知此客户出了事故，求该客户是来自“谨慎的”一类客户的概率．设，和分别表示客户是“谨慎的”，“一般的”和“冒失的”，则，和构成一个完备事件组．再设表示客户在一年内出了事故，则就是所要求的概率． 由题设可知，，，；
，，．于是由贝叶斯公式可得 即出事故的客户是“谨慎的”客户的概率是0.0625． 例11． 已知一批产品的合格品率是96%．检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率是0.02，一个次品被误认为是合格品的概率是0.05．试求经检查合格的产品确为合格品以及经检查不合格品的产品确为次品的概率． 解 这里的随机试验可以视为从生产的产品中任意抽查一个产品，考察产品是合格品还是次品．设表示“抽得的产品是合格品”，则表示“抽得产品是次品”，且与构成一个完备事件组．再设表示“认为抽得的产品是合格品”，则表示“认为抽得的产品是次品”．这里所要求的概率是和． 由题设可知：，，；
故，，．于是由贝叶斯公式可得 或 §1.5 随机事件的独立性 本节分两种情况， 考虑随机事件的独立性 1.5.1 两个事件的独立性 一般来说，条件概率与无条件概率是不同的．但是，如果两个事件与，其中任一事件的发生与否都不影响另一事件发生的可能性，那么，与相同．来看一个例子． 引例 甲、乙二人对某一目标各自进行射击，设表示“甲击中目标”，表示“乙击中目标”，且，．试求与． 解 直观上易见，“乙击中目标”的可能性，并不因为甲是否击中目标而有所改变，同样，“甲击中目标”的可能性也不因为乙是否击中目标而有所改变．因此有 ， 例1中的两个事件与满足条件 （称为对独立） （1.5.1） 及 （称为对独立） （1.5.2） 这里，“对独立”的含义是事件概率不受附加条件“事件已发生”的影响． 一般地，若两个事件与满足式（1.5.1）和式（1.5.2），我们称与相互独立． 可以证明，当时，（1.5.1）与（1.5.2）两式中有一式成立，则另一式也成立（请读者证之）．这时，由乘法公式可得 我们由此给出两个事件相互独立的数学定义． 定义1 如果任意两个随机事件与满足 （1.5.3） 则称随机事件与是相互独立的，简称与独立． 这里要指出的是，采用式（1.5.3）定义的两个事件的相互独立性时，不必加和的限制条件，因而有更广泛的适用性． 独立性是概率论中一个很重要的概念，几乎遍及概率统计的各个角落．关于两个事件的独立性有如下性质：
性质1 或，则事件与任意事件独立．也就是说，不可能事件和必然事件与任意事件独立．（证明留给读者） 性质2 若（或），则事件与相互独立的充要条件是（或）．（证明留给读者） 性质3 事件与独立，则事件与独立，事件与独立，事件与独立．（证明留给读者） 利用事件的独立性解决实际问题时，往往总是先从实际意义上确定事件的独立性，然后再根据独立性的定义和性质计算独立事件的概率． 例1． 甲、乙二人对同一目标进行射击，甲击中目标的概率为0.9，乙击中目标的概率为0.8，甲乙二人各射击一次，试求击中目标的概率． 解 设表示“甲击中目标”，表示“乙击中目标”，表示“击中目标”，则，，且所求概率为 由于乙是否击中目标不受甲是否击中目标的影响，同样，甲是否击中目标也不受乙是否击中目标的影响．所以，，相互独立，于是有 例2． 从装有只黑球，只白球的袋中摸出一球后放回，再摸出一球，记“第一次摸到黑球”，“第二次摸到黑球”．验证与是否独立，并求“第一次摸到白球而第二次摸到黑球”及“两次都摸到黑球的概率”的概率． 解 显然“第一次摸到白球”．而由题设可知，第一次摸球与第二次摸球面对的情况相同，每次摸球互不影响．因此，与独立，与也独立．且 ，．所以 例3． 从装有只黑球，只白球的袋中无放回地摸球两次，记“第一次摸到黑球”，“第二次摸到黑球”．验证与是否独立． 解 由题设可知，，而，且与互不相容，所以 而 故与不是相互独立的． 由这个例题可知，“第一次摸到黑球”的概率与“第二次摸到黑球”的概率相同．事实上，袋中黑球的个数和白球的个数一旦确定，那么，“第一次摸到黑（白）球”的概率与“第二次摸到黑（白）球”的概率一定相同．这似乎给我们一个启示：的发生只与袋中黑、白球的个数有关，而不受发生的影响．实际上这是一个错觉！观察与是否相互独立，是观察（或）已经发生的情况下，（或）发生的概率．即判别（）是否与（）相同．通常，有放回（重复）抽样试验中各次抽取所对应的事件是相互独立的，而不放回（不重复）抽样试验中各次抽取所对应的事件不是相互独立的 1.5.2多个事件的独立性 定义2 设是个随机事件，若对其中任意个事件 ，有等式：
（1.5.4） 成立，则称个事件是相互独立的． 式（1.5.4）实际包含了组共 个等式．即 （共个等式） ，（共个等式） …… （共个等式） 由定义看出，若个事件相互独立，则它们中的任意个也是相互独立的．但是要特别注意，若个事件中任意个事件独立，未必能推出个事件的相互独立性．看下面的例子． 例4． 设样本空间含有4个等可能基本事件，又设，，，则，且 ， 可见 ，，；
而 例5． 设样本空间含有8个等可能基本事件，设 ，，，则 ，且， 可见 ，但是 ，， 这两个例子说明，个事件相互独立的定义中个等式缺一不可． 应用定义和概率的性质，还可以得到下面的性质：
性质4 若相互独立，则把其中任意个换成后所得的个事件仍相互独立． 性质5 若相互独立，则有 证明 利用事件的关系与运算以及的独立性，可得 对于可列个事件，有如下的 定义3 若可列个事件中任意有限个事件都相互独立的，则称相互独立． 从事件相互独立的定义及性质看出，对于独立事件，用乘法公式特别简便，但对的情形，用定义来验证个事件是否独立都比较麻烦，人们常根据问题所反映的条件直接加以判断． 例6． 假定每个人的血清中含有肝炎病毒的概率为0.004，混合100个人的血清，求此混合血清含肝炎病毒的概率． 解 记第个人的血清中含病毒，． 由经验可以判定间是相互独立的，且，；
所求概率为，因{}间显然不是两两相斥的，用加法公式计算就很麻烦，我们可以将事件的并的运算转化为事件的交的运算，从而改用乘法公式．即 例7． 对敌机进行三次独立射击，各次的命中率依次为0.5，0.6和0.7．求敌机恰有一次被击中的概率． 解 记“第次击中敌机”，；
“敌机被击中”．则 由于三次射击是独立的，，，相互独立，利用可加性和独立性，所求概率为 例8． 对敌机进行三次独立射击，各次的命中率依次为0.4，0.5和0.7． 敌机被击中一次而被击落的概率为0.2，击中二次而被击落的概率为0.6，击中三次则必然被击落．求敌机被击落的概率． 解 记“第次击中敌机”，；
“敌机被击中次”，；
“敌机被击落”．则，，相互独立，互不相容，．而所求的概率为 今由题设可知，，，，，，．再由事件独立性及概率的性质，可求得 代入的表达式，得所求的概率为 [注] 若为二事件，则当时，与互不相容与相互独立是不能同时成立的．这是因为当互不相容时，；
而当相互独立时，． §1.6 伯努利概型 引例 （1）将一枚分币抛掷5次，求恰有2次出现正面的概率．（2）一位篮球运动员练习定点投篮．若已知其每次投中的概率均为0.7，问该运动员在5次投篮中恰投中2次的概率是多大？ 解 （1）设“恰有2次出现正面”，则由概率的古典定义知 这一结果也可记为． 第二个式子可以解释为：各次抛掷的结果显然相互独立，表示出现2次正面的概率；
表示出现3次反面的概率；
表示2次正面可以出现在5次抛掷过程中的任何两次． （2）此时如果仍按（1）题的思路，设“恰投中2次”，而则显然是不正确的．因为这里“投中”与“未投中”这两个基本事件并不是等可能的．换句话说，这个概率问题虽然也很“古典”，却不再能用概率的古典定义求解了．读者不难理解，事件的概率为：
实际上，这里我们引出了在一种概型下，某类事件概率的统一计算模式． 以上这类问题是广泛存在的． 定义1 我们把具有下述特征的次随机试验称为重伯努利（Bernoulli）概型（或重伯努利试验）：
（1） 每次试验只有两个可能的结果：记为及；
（2） 次试验相互独立，即各次试验的结果相互独立；
（3） 事件及在各次试验中出现的概率相同（即每次试验结果出现的概率不受其它各次试验结果的影响），分别记为，． 当时，称其为无限伯努利（Bernoulli）概型． 由定义可知，若重伯努利试验中，令表示“第次试验成功”，则相互独立，且． 在本节中，我们主要讨论重伯努利概型中以下四种事件的概率． 1． 事件“事件在次试验中恰好出现次”的概率． 设表示“事件第次试验中发生”，则．“事件在次试验中恰好出现次”说明事件在次试验中的次试验中发生，而在其余的次试验中不发生．不妨设事件在第次试验中发生，在第次试验中不发生，由于各次试验独立，相互独立．因此 又由于事件在次试验中发生的次试验共有种，每种对应的事件互不相容，且概率均为，因此，．于是有如下定理 定理1（伯努利定理） 在重伯努利概型中，事件“事件在次试验中恰好出现次”的概率为 ， （1.6.1） 其中． 例1． 设某人打靶的命中率为0.75，现在独立重复地射击5次，求恰好命中3次的概率． 解 每次打靶只有两个可能结果：“命中”，“没有命中”，“恰好命中3次”，而，．问题归结为5重伯努利试验，所求概率为 2． “事件在次试验中至少（至多）出现次”的概率． 令表示“事件在次试验中至少出现次”，而表示“事件在次试验中至多出现次”．由于互不相容，必有 ， 所以 ， 例2． 对某种药物的疗效进行研究，假定这种药物对某种疾病的治愈率为，有10个患此病的病人同时服用这种药，求其中至少6个病人治愈的概率． 解 任何患有此病的病人服用该药只有两种结果：治愈（发生）或没有治愈（发生），且，．因每个病人服药后是否治愈是彼此独立的，问题可归为10重伯努利概型．由概率的有限可加性 例3． 某车间有10台同类型机床，每台机床的电动机功率为10kW．已知每台机床工作时，平均每小时开动12分钟，且开动与否相互独立．若电力部门只提供50kW电力给这10台机床，求这10台机床能正常工作的概率． 解 50kW电力可供5台机床同时开动，因此10台机床中同时开动的台数不超过5台即可正常工作．在任一时刻，每台机床只有“开动”和“不开动”两种情况，由于各台机床开动与否相互独立，问题可归为10重伯努利概型．这里，．在设“正常工作”，则所求概率为 即10台机床能正常工作的概率约为0.9936．这一结果说明，50kW电力已基本够用，无须再多供电而造成浪费． 3．将伯努利试验独立重复地进行下去直到事件首次出现为止． 记=“事件首次出现在第k次试验”，则，故 （1.6.2） （1.6.2）所示的概率是一个几何级数的一般项，称之为几何分布，第二章将进一步的讨论它． 4．将伯努利试验独立重复地进行下去，直到出现次成功为止． 记=“第次事件出现在第次试验” ，则发生当且仅当第次试验出现事件，而前次恰好出现次，故得：
（1.6.3） （1.6.3）所示的概率称为巴斯卡分布． 例4． 一人驾车从城中甲地到乙地，途中经过若干交通路口，如果他在每个路口遇“红灯”的概率均为0.4，试求：（1）此人过5个路口仅有一次遇到“红灯”的概率；
（2）此人第5次过路口才遇到“红灯”的概率；
（3）此人第5次过路口已是第3次遇“红灯”的概率． 解 此人每过一个路口都只有两个结果：“遇红灯”或“遇绿灯”，且．所以， （1） （2） （3） 在概率论中还讨论更一般的次独立试验，即次独立试验概型，在次独立试验概型中不要求各次试验中成功的概率相同，每次试验也可以不只考虑两个可能结果，重伯努利试验只是次独立试验概型的一种特殊情形．虽然次独立试验概型较为复杂，但是对这类问题的解法还是与重伯努利试验问题的解法类似．§1.5中的例1，例7就是这种情形． [注] “伯努利概型”也称为“独立重复试验序列概型”．“独立重复”不仅意味着各次试验的条件是相同的，而且还有各次试验的结果间是相互独立的含义，所以在具体应用时，一定要体会“独立重复”这几个字．下面看两个例子：
1o 已知80个产品中有5件次品，现从中每次任取一个，共取20次，求其中恰好取出2个次品的概率． 假设事件“恰好取出2个次品”，表面看来这个问题的提法与伯努利概型是相同的．即，其实，这样计算是错误的，因为并无“独立重复”的前提，所以正确的计算应是．当然，如果试验是有放回的，则又可以看成“独立重复”试验了． 2o 在一大批电子元件中，优等品占20%，现从中随机抽取20只，问恰好抽到2只优等品的的概率． 在客观世界中，真正完全重复的现象是不多见的，大多数只是近似完全重复，自然也就能够用独立重复试验序列概型来近似处理．如上面问题，当试验对象的批量相对较大时，“无放回”就可以当作“有放回”看待．因此，“恰好抽到2只优等品”这一事件的概率为 小 结 本章主要介绍了随机事件及其概率的概念；
事件的关系和运算；
概率的性质；
有概率的性质诱导出的概率计算公式；
古典概型的概率计算方法等.这些内容是学习以后各章的基础. 1、读者应熟悉事件的关系和运算，能准确写出一个事件的对立事件（逆事件），应了解两个事件互斥与互逆的联系和区别，弄清互斥与独立两个概念. 2、读者应很好地理解概率定义的实质，理解条件概率、事件独立性与独立重复试验的概念，掌握概率的基本性质、加法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯公式. 3、读者应熟练掌握计算古典概率和几何概率的方法，要特别注意，古典概率计算公式要求试验的一切基本结果是等可能的，否则不能用.要学会应用公式和事件的独立性进行概率的计算以及与重伯努利试验相关的概率计算. 习 题 1 一、填空题 1．两事件互不相容，，，则 ． 2．两事件互不相容，则 ， ， ． 3．设为两个随机事件，，，，则 ． 4．设为三事件，则它们都未发生的两种运算为 或 ． 5．概率很小的事件可认为在一次试验中是不可能发生的，这个原则称为 ． 6．设一批产品中，一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中任意取出一件，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率为 ． 7．三个人独立破译一个密码,他们单独译出的概率分别为1/5, 1/3, 1/4, 则此密码被译出的概率为 ． 8．设10件产品，其中4件不合格．现从中任取2件，发现一件不合格，则另一件也不合格的概率为 ． 二、选择题 1．设与是任意两个事件，且，则下列选项必然成立的是 ( ) （1）；
（2）；
（3）；
（4）． 2．每次成功的概率为，那么在n次独立试验中至少成功一次的概率为 （ ） （1） ；
（2） ；
（3） ；
（4）． 3．设事件互不相容，，则肯定正确的是( ) （1）与互不相容；
（2）与相容；
（3）；
（4）． 4．事件，是随机事件，且，则下列式子正确的是 ( ) （1）；
（2）；
（3）；
（4）． 5．下列结论正确的是（ ） （1）若必相互独立；
（2）若 则可能相互独立；
（3）若，则必相互独立；
（4）若，则必相互不独立． 6．设，为二事件，若，则 ( ) （1），互不相容；
（2），为不可能事件；
（3）或；
（4）未必是不可能事件． 7．设，，为三个事件，则事件“，，不多于一个发生”的逆事件是 ( ) （1），，至少有一个发生；
（2），，至少有两个发生；
（3），，都发生；
（4），，都不发生． 三、综合题 1．写出下列随机试验的样本空间：
（1） 某班有学生40人，考察该班某科考试的平均成绩（以百分制记分，考试成绩只取整数分）；
（2） 对某厂待出厂产品进行检验，产品分正品和次品．若连续查出2件次品就停止检查，或检查4件产品就停止检查，记录检查结果；
（3） 将一尺之棰折成三段，观察各段的长度． 2．试用事件的运算关系表示下列事件：
（1） 中至少有一个事件发生；
（2） 中恰有一个事件发生；
（3） 中不多于两个事件发生；
（4） 与中至少有一个发生，而不发生． 3．从一批产品中每次取出一个（取出后不放回），事件表示第次取到次品（），试用文字叙述下列事件：
（1） ；
（2） ． 4．盒中装有10个相同的球，分别标有号码0，1，…，9，从中任取3个，试求下列事件的概率：
（1） 取到2号球；
（2） 取到的3个球中号码最小的是5；
（3） 取到的3个球中不含2号或5号球． 5．某车间分得厂里招聘的9名新工人，其中有3名是大专毕业生．现随机地将他们平均分配到3个班组中去，求：
（1） 每个班组各分配到1名大专毕业生的概率；
（2） 3名大专毕业生在同一班组的概率． 6．考虑一元二次方程，其中分别是将一枚色子接连掷两次先后出现的点数．求该方程有实根的概率和有重根的概率． 7．某班共有名学生，试求其中至少有2人生日在同一天的概率（一天按365天计）． 8．（1）将4封信随机投入6个信箱，试求指定的2个信箱中各投入1封信的概率；
（2）将4封信随机各投入6个信箱中的一个，试求指定的2个信箱中各投入1封信的概率． A B 9．向图中长方形内各随机投点，试求点落在长方形中线段上的概率．从计算结果中能得到什么结论？ 10．从区间（0，1）中随机取2个数，试求下列事件的概率：
（1）2数之积小于；
（2）2数中最小者小于． 11．甲、乙二船欲靠同一码头．设二船独立地到达，且各自到达时间在一昼夜间是等可能的．如果甲、乙二船在码头停留的时间分别是1与2小时，求一船要等待空出码头的概率． 12．下表是10万名男子中活到某一岁数的人数．试估计：
（1）一名男子活到40岁的概率；
（2）已知一名男子已活到40岁，他能继续活到70岁的概率． 岁数 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 活到岁数的人数 100 000 93 601 92 293 90 092 86 880 80 521 67 787 46 739 19 866 2 812 65 13．设10件产品中有4件不合格产品，从中任取2件，已知所取2件产品中有1件是不合格产品，试求另一件也是不合格产品的概率． 14．设为二随机事件． （1）已知，试求，，与． （2）已知，试求． 15．某管理部门对上项目进行可行性分析的效果进行调研．对100个项目进行了统计，其中70个项目成功，30个项目失败．在成功的项目中，有56项曾由专家进行可行性分析后认为是可行的，有4项认为是不可行的，其余项目未进行可行性分析．在失败的项目中，有3项曾由专家进行可行性分析后认为是可行的，有9项认为是不可行的，其余项目未进行可行性分析．试求：
（1）对项目进行可行性分析后，认为是可行的情况下，项目成功的概率，及认为是不可行的情况下，项目成功的概率；
（2）未进行可行性分析情况下，项目成功的概率；
（3）可行性分析失误（认为可行而失败与认为不可行而成功）的概率． 16．加工某一零件共需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为3%，2%，2%，试求加工出来的零件的次品率． 17．对100家企业前年和去年的经营状况进行调查，得到如下数据：
企业数 去年 前年 去年盈利 去年亏损 前年盈利 55 20 前年亏损 10 15 从中任选一企业，求：
（1）它在去年盈利的概率；
（2）已知它在前年亏损，而在去年盈利的概率；
（3）它连续两年盈利的概率；
（4）它扭亏为盈的概率． 18．有两种报警系统与，每种系统单独使用时，系统有效的概率为0.92，系统有效的概率为0.93．在失灵的条件下，有效的概率为0.85．求：
（1）发生意外时，这两个系统至少有一个有效的概率；
（2）在失灵的情况下，有效的概率． 19．设有甲、乙两个口袋，甲袋中装有3只红球2只白球；
乙袋中装有2只红球3只白球． （1）从甲袋中任取一只球（不看颜色）放入乙袋中，再从乙袋中任取一只球．问取到白球的概率是多少？ （2）从甲袋中任取两只球（不看颜色）放入乙袋中，再从乙袋中任取两只球．问取到一红一白两只球的概率是多少？ 20．甲袋中有9只白球1只黑球，乙袋中有10只白球．每次从甲、乙两袋中随机各取一球交换放入另一袋中，这样做了三次．求黑球出现在甲袋中的概率． 21．甲、乙、丙三部机床加工同一种零件，产量比为5∶3∶2．已知甲、乙、丙三部机床加工零件的废品率分别为6%，10%，5%． （1）试求全部产品中的合格品率；
（2）若从产品中任取一件且恰为废品，它是哪部机床加工的可能性大？ 22．某公司将下属单位划分为财务、营销、技术和管理四个部门，其中员工所占比例分别为10%、40%、30%和20%．某日公司领导抽查各部门出勤情况，结果上述各部门的缺勤率依次为2%、5%、3%和3%．试求：
（1）该日公司总缺勤率；
（2）缺勤人员中各部门所占比例． 23．发报机分别以概率0.7和0.3发出信号“•”和“―”．由于受到干扰，当发出“•”时，收报机错收成“―”的概率是0.1；
而发出“―”时，收报机错收成“•”的概率是0.05．试求：
（1）收报机收到信号“•”的概率；
（2）收报机收到信号“•”时，发报机确实发出信号“•”的概率． 24．玻璃杯成箱出售，每箱20只．假设各箱含0，1，2只残次品的概率相应为0.8，0.1和0.1．一顾客欲购一箱玻璃杯．在购买时，售货员随意取一箱，而顾客开箱随机地察看4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回．试求：
（1）顾客买下该箱的概率；
（2）在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率． 25．设一仓库中有10箱同种规格的产品，每箱20件．其中由甲、乙、丙3厂生产的分别为5箱，3箱，2箱，三厂产品的废品率依次为0.1，0.2，0.3．从这10箱产品中任取一箱，再从这箱中先后依次随机取出2件产品，取出后不放回． （1）求先取得的产品是正品的概率及取得的正品是由甲厂生产的概率；
（2）已知后取得的产品是正品，求先取得的产品也是正品的概率． 26．证明题：
（1）设随机事件，，相互独立．试证，，都与独立；
（2）设，为任意二随机事件，其中，试证是事件与相互独立的充分必要条件；
（3）试证概率为0或1的事件与任一事件独立．从而不可能事件和必然事件与任一事件独立；
（4）设，为二随机事件，且．试证，相互独立与设，互不相容不能同时成立．若与中至少有一个为零时，情况又会怎样（请从中体会互不相容与相互独立这两个概念的不同之处）？ 27．在某通讯系统中传送字符，，三者之一，假定输入这三者的概率分别为（），但由于系统受到干扰，正确接收到每个输出字母的概率是，而接收到的是其它两个字母的概率都是．已知接收到的是， 问输入的是的概率是多少（假设系统传输每个字母的工作是相互独立的）？ 28．设三次独立试验中，事件出现的概率相等．若已知至少出现一次的概率等于， 试求事件在一次试验中出现的概率． 29．某大厦内有四部电梯，由经验知它们平均每小时运行30分钟，且各部电梯运行相互独立．试求在某时刻下列事件的概率：
（1）恰有两部电梯在运行；
（2）至少有一部电梯在运行；
（3）全部电梯都在运行． 30．某人参加射击选拔赛，对指定目标独立射击三次，假设他每次的命中率均为0.9．三次均未击中目标，一定不能入选；
目标被击中一次而入选的概率为0.2；
击中二次而入选的概率为0.5；
三次均击中则一定入选．试求该人能入选的概率．