直流电动机的鲁棒控制设计 一、 引言 直流电动机在整个电力拖动应用中，占有十分重要的地位。相对于交流电动机，直流电动机的调速性能更为优越，在大范围、高精度调速要求的应用中，成为首选。因此，研究直流电动机的调速具有十分重要的意义。由于电机的参数和模型受到其应用环境的影响，常规的PID控制在电机参数发生变化的时候，将变得不可靠。文中将鲁棒控制技术应用到电机调速系统中，可有效地避免电动机模型及外加载荷的变化对系统的影响，增加系统的可靠性。
文中设计了鲁棒控制器，给出了直流电动机的数学模型，并将设计的鲁棒控制器应用在直流电动机模型上，对其进行了计算机仿真实验，给出了仿真结果。
二、 鲁棒控制器的设计 1、 鲁棒控制 鲁棒控制理论是在空间通过某些性能指标的无穷范数优化而获得具有鲁棒性能控制器的一种控制理论。范数为矩阵函数在开右半平面的最大奇异值的上界，其物理意义是它代表系统获得的最大能量增益。近年鲁棒控制方法得到迅速发展，特别是对模型具有不确定性及干扰能量为有限信号的系统，应用控制理论设计的控制器进行控制，使系统具有很强的鲁棒性。
2、 系统的能控性和能观性 研究能控性和能观性是控制器设计中比较基本的一步。
（1） 状态能控性 状态能控性的含义是系统控制输入支配状态变量的能力。
状态能控性的定义：如果对任何初始状态任何时间，和任何最终状态，存在着一个输入使成立，则动态系统是状态可控。反之，则系统的该状态不能控的。若全体状态变量均满足要求，则称为系统是完全可控的。
能控性判据：系统可控的充分必要条件是 的秩为n，n是状态个数。
（2） 状态能观性 状态能观性的含义是系统控制输出支配状态变量的能力。
状态能观的定义：如果对任何时刻，输入信号和在之间的输入，初始状态能被确定，则动态系统，是状态能观的。反之，系统是状态不能观的。若通过输出量的测量值确定所有状态变量，则系统是完全状态能观的。
状态能观判据：系统能观的充分必要条件是 是满秩的，即秩为n。
3、 鲁棒控制器设计 考虑由以下状态方程描述的不确定离散时间系统：
2-1 其中，为系统状态，为控制输入，为噪声输入，为测量输出，A，B和C为具有适当维数的实常数矩阵，为具有适当维数的不确定函数矩阵，表示了系统模型中的参数不确定性。
假定所考虑的参数不确定性是范数有界的，且具有以下的形式 其中，D，和是适当维数的已知常数矩阵，它们反应了不确定性的结构信息，是一个未知矩阵，它可以是时变的，且满足。
目的就是设计一个状态反馈控制律 2-2 使得闭环系统2-2是渐近稳定的，且具有扰动抑制率为的性能指标，即：
2-3 引理1 对于给定的常数和系统，以下条件是等价的。
（1） 系统2-1是渐近稳定的，且系统的EE增益；
（2） 存在一个对称矩阵，使得 。
引理2 给定适当维数的矩阵Y、D和E，其中Y是对称的，则 对所有满足的矩阵F成立，当且仅当存在一个常数，使得 。
以下定理给出了状态反馈控制律的存在条件。
定理 1 对于给定的扰动抑制率，系统2-1存在一个状态反馈控制律，当且仅当存在对称正定矩阵X、矩阵W和标量，使得以下矩阵不等式 成立。如果存在可行解，那么状态反馈增益为。
证明：
选取李雅普诺夫函数， 其中，P为对称正定矩阵。则其差分方程为 2-5 其中，。
考虑性能指标 2-6 由引理1可知，系统2-1是渐进稳定的，且有系统的EE增益，当仅当以下不等式成立 2-7 由式2-7可得 2-8 由Schur补引理可得 2-9 由于，则式2-9等价于 2-10 由引理2可知，式2-10对所有满足的不确定矩阵F成立当且仅当存在标量，使得 2-11 应用Schur补引理可得式2-11等价于 2-12 对式2-9分别左乘和右乘，可得 2-13 令，就可以得到式2-4. 基于这个充要条件，可以得到系统存在一个状态反馈最优控制器的充要条件 2-14 2-15 则最优扰动抑制率就是。
三、 直流电动机的数学模型 直流有刷电机物理元件模型如图3-1所示，其电路方程为：
图 3-1 3-1 电机的反向感应电动势为：
3-2 电机的电磁转矩为：
3-3 电机转速为：
3-4 模型方程为：
3-5 3-6 式中，R-电机电阻；
L-电机电感；
J-转动惯量；
-反向电动势常数；
-电磁转矩常数。
取得电机的状态空间方程：
四、实验仿真与结果分析 下面给出一个已知的数学模型为 考虑模型的不确定性和外部扰动，以采样周期，进行离散化得模型参数为 。
用mincx求解优化问题2-14、2-15，可得最优扰动抑制率，状态反馈增益为 其状态轨迹如图4-1所示 由图可知，系统的各状态变量都能在有限的时间内趋于稳定。直流电动机的速度和电流都能在3秒之内趋于零，故对电动机的鲁棒控制具有良好的控制性能。
五、 结论 通过本次课程设计的学习，对鲁棒控制的设计方法有了深入的了解，对直流电动机的数学建模也有了初步的认识，对MATLAB这一非常有用的工具有了进一步的熟悉和运用。实验结果也表明鲁棒控制对直流电动机也有很好的控制性能。
参考文献 [1] 俞立. 鲁棒控制—线性矩阵不等式处理方法. 清华大学出版社. 2002 [2] 李炯. 面向对象的发动机建模与仿真研究. 华北工学院动力机械及工程学院. 2003