安徽省六安市第一中学高一数学下学期疫情防控延期开学期间辅导测试试题四23034
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安徽省六安市第一中学高一数学下学期疫情防控延期开学期间辅导测试试题四23034
安徽省六安市第一中学-2020学年高一数学下学期疫情防控延期开学期间辅导测试试题（四）
满分：150分 时间：120分钟
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，那么等于（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知非零向量、且，，，则一定共线的三点是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（ ）
A．2
B．
C．
D．
4．如图，已知中，为的中点，，若，则（ ）
A．
B．
C．
D．
5．若函数，则函数的零点个数是（ ）
A．5个
B．4个
C．3个
D．2个
6．已知角满足，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
8．若函数（），且，，的最小值是，则的单调递增区间是（ ）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
9．声音的等级（单位：）与声音强度（单位：）满足.喷气式飞机起飞时，声音的等级约为；一般说话时，声音的等级约为.那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（ ）
A．倍 B．倍 C．倍
D．倍
10．已知函数 是上的偶函数，且在区间 上单调递增，A,B,C是锐角三角形的三个内角，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．已知函数，若对任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到
的图像．若，且，则的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知，则________．
14．设是两个非零向量，且，则向量与的夹角为________．
15．锐角的终边上有一点的坐标是，则________．
16．若函数（且）有最小值，则实数的最大值是________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知，其中.
（1）求和的值；
（2）若，求的值.
18．（本小题满分12分）
已知二次函数的最小值为1,且．
（1）求的解析式；
（2）在区间上,的图象恒在的图象上方,试求实数的取值范围．
19．（本小题满分12分）
已知函数为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为．
（1）当时，求的单调递减区间；
（2）将函数的图象沿轴方向向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），得到函数的图象．当时，求函数的最小值．
20．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）试判断的单调性，并证明你的结论；
（2）若为定义域上的奇函数，
①求函数的值域；②求满足的的取值范围．
21．（本小题满分12分）
如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池的池底水平铺设污水净化管道（是直角三角形，是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上．已知米，米，记．
（1）试将污水净化管道的长度L表示为的函数，并写出定义域；
（2）当取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度．
22．（本小题满分12分）
已知函数，，m为常数．
设函数存在大于1的零点，求实数m的取值范围；
设函数有两个互异的零点，求实数m的取值范围，并求的值．
六安一中高一年级疫情防控延期开学期间辅导测试
数学试卷（四）参考答案
1．A【解析】在化简集合时要注意集合的研究对象，如的研究对象是而不是.
2．B【解析】因为，所以三点一定共线．
3．B【解析】设扇形的半径为，由弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，可得，
由弧长公式可得：这个圆心角所对的弧长是.
4．C【解析】因为，
所以，.故.
5．D【解析】函数与函数有2个交点.
6．D【解析】，所以.
7．B【解析】∵∴为奇函数，排除A，C
，，且排除D.
8．A【解析】由题意可知，所以，所以，所以，
由得，所以的单调递增区间为（）.
9．C【解析】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为，
由题意可得，解得，
，解得，
所以，因此喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的倍.
10．C【解析】时
因为
函数 是上的偶函数，且在区间 上单调递增，所以 在区间 上单调递减，所以 .
11．A【解析】，当时最小值为-1
对任意，总存在，使得成立，
只需，即，而为或，
只需，解得.
12．A【解析】函数的图像向左平移个单位,可得 的图象，再向上平移1个单位,得到的图象．
若g(x1)g(x2)=9,且x1,x2∈[?2π,2π]，则g(x1)=g(x2)=3，则，
即 ，由x1,x2∈[?2π,2π],得： ，
当 时,2x1?x2取最大值.
13．6【解析】因为，可化为，等式两边同时取三次方，可得，
代入对数式可得.
14．【解析】，由向量加法平行四边形法则得到由两个向量为邻边组成的四边
形是菱形，菱形的一条对角线同边相等，则向量与的夹角为.
15．【解析】，又为锐角，故.
16．2【解析】由于函数（且）有最小值，
当时，，此时函数单调递减，则.
所以，当时，函数单调递增，且，即，
解得，因此，实数的最大值为2.
17．解：（1），即，
又， ，所以， .…………5分
（2）因为， ，所以，
从而
根据，得.…………10分
18．解：（1）根据题意,是二次函数,且,可得函数的对称轴为,
又其最小值为1,设,又因为,则,解可得,
则.…………6分
（2）根据题意,若在上恒成立,化简得,
设,则在区间上单调递减，
在区间上的最小值为,则有,
故的取值范围为．.…………12分
19．解：（1）由题意可得：，
因为相邻两对称轴间的距离为，所以，
因为函数为奇函数，所以，
因为，所以， 函数为
要使单调减，需满足
所以函数的减区间为…………6分
（2）由题意可得：
，
所以函数的最小值为…………12分
20．解：（1）函数为定义域，且，
任取，且，
则．
∵在上单调递增，且，
∴，，，，
∴，即，
∴在上的单调增函数…………4分
（2）∵是定义域上的奇函数，∴，
即对任意实数恒成立，
化简得，∴，即…………6分
（注：直接由得而不检验扣1分）
①由得，
∵，∴，∴，∴，
故函数的值域为…………9分
②由，得，
∵在上单调递增，∴，解得，
故的取值范围为．…………12分
21．解：（1），
由于，，
所以，所以，
所以6分
（2），设，则，
所以．由于，所以．
由于在上单调递减，
所以当，即或时，L取得最大值米12分
22．解：令则，
（1）由于函数存在大于1的零点，所以方程在内存在实数根，
由得所以实数的取值范围是………6分
（2）函数有两个互异的零点，则函数在内有两个互异的零点其中
所以，解得 所以实数的取值范围是
根据根与系数的关系，可知即
所以.…………12分